微少時間刻みの衝突を考えてみる

過去3回、質点の運動(等速直線運動、等加速度運動、放物運動)を微少時間刻みで考えたが、今回は衝突を考えてみようと思う。衝突のモデルとしてKelvin–Voigtモデルというものを導入する。

 出典：Wikipedia

今回はひとまず壁との衝突を考えるが、要素と壁が衝突したときに、上図のモデルが接触箇所に存在すると仮定して計算する。接触の判断は要素中心と壁との距離が、要素半径より小さければ接触していることになる。つまり、

これを満たすとき、要素と壁は衝突している。ここで、は要素の座標、は壁の座標、は要素の半径。

とし、をモデルバネの縮みと見なす。このとき、ばね定数をとすると、バネによる力は

と表せる。また、ダッシュポッドの粘性係数をとすると、ダッシュポッドによる力は速度に比例し、速度と逆方向に働くので、

と表せる。ここで、は現在の速度である。

とをあわせたものが、要素に働く力になるので、

との向きは考える必要がある。

現在の力がわかったので、要素の質量をとすると、要素の現在の加速度は

となる。

ここまでできれば、後は等加速度運動の時と同じ処理になる。この部分をコードにすると以下のような具合。

1.     if(wp1 - xc < r){ // 右壁
2.       double dx = r - (wp1 - xc); // 壁と要素の重なり
3.       fc = -dx * k - c * vc;
4.     }
5.     if(xc - wp2 < r){ // 左壁
6.       double dx = r - (xc - wp2); // 壁と要素の重なり
7.       fc = dx * k - c * vc;
8.     }
9.     ac = (fc + fp) / (2 * m);

ばね定数k=10000、粘性係数d=20としたときの結果は次のようになる。

 

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